Metoda Richardsona czyli jak zrobić dobrą siatkę MES

utworzone przez | 24.01.2023 | Z ŻYCIA RZECZOZNAWCY I PROJEKTANTA

Badanie przestrzennej zbieżności siatki jest metodą walidacyjną służącą do wyznaczenia takiego sposobu podziału obiektu symulacji, który byłby optymalny z punktu widzenia dokładności wyników przy najkrótszym czasie trwania symulacji. Podstawowym celem dokonania oceny zbieżności siatki jest wykazanie, że wynik obliczeń dla teoretycznego rozmiaru elementu skończonego równego zero nie zależy od wielkości siatki.  Podstawą tej metody jest wykonanie symulacji tego samego elementu z użyciem przynajmniej […]

Badanie przestrzennej zbieżności siatki jest metodą walidacyjną służącą do wyznaczenia takiego sposobu podziału obiektu symulacji, który byłby optymalny z punktu widzenia dokładności wyników przy najkrótszym czasie trwania symulacji. Podstawowym celem dokonania oceny zbieżności siatki jest wykazanie, że wynik obliczeń dla teoretycznego rozmiaru elementu skończonego równego zero nie zależy od wielkości siatki.  Podstawą tej metody jest wykonanie symulacji tego samego elementu z użyciem przynajmniej dwóch różnych typów siatek oraz wykorzystanie ekstrapolacji Richardsona. Polega ona na takim stopniowym zmniejszaniu rozmiaru elementu skończonego, że błędy dyskretyzacji (z pominięciem błędu zaokrąglenia komputera) asymptotycznie dążą do zera. Dla symulacji naprężeń w elementach metalowych dostępne są tylko dwie możliwości: siatka z inflacją oraz siatka tetragonalną. Inflacja siatki jest parametrem określającym stopień jej zagęszczenia w kierunku od powierzchni badanej. Ustawieniu podlega wtedy liczba warstw oraz odstęp między nimi, czyli właśnie inflacja siatki.

Wynikiem ekstrapolacji jest wyznaczenie stopnia zagęszczenia siatki oraz teoretycznej wartości naprężenia lokalnego dla elementu skończonego równego zero. Przy zmianie rozmiaru elementu skończonego zaleca się by minimalny skok w zmianie rozmiaru elementu skończonego był większy niż 1,3. W pracy przyjęto 1,5. Podstawą weryfikacji błędu symulacji jest badanie precyzji działania algorytmu numerycznego przez regulowanie rozmiaru siatki podniesionego do p-tej potęgi. W kolejno po sobie następujących iteracjach przyjmuje się, iż wielkość siatki jest na tyle mała, że współczynnik HOT jest pomijalny w stosunku do wartości błędu. Gdy tak się dzieje, rozwiązanie numeryczne jest asymptotycznie zbieżne. Można wyznaczyć wtedy dokładną wartość rozwiązania numerycznego dla nieskończenie małego elementu skończonego:

 w_d=w_h+A×h^p+HOT

   gdzie:

wd – wartość dokładna dla nieskończenie małego elementu siatki, MPa,

wh – wartość z symulacji, MPa,

h – rozmiar siatki, mm,

A – stała,

p – współczynnik obliczeniowy wg równania (2),

HOT – naddatek na błąd (higher order terms) ~ 0.

Aby obliczyć dokładną wartość wd, należy wybrać przynajmniej trzy takie wartości symulacji, które leżą na jednej prostej. W przypadku symulacji siatką inflacyjną są to wartości pierwsza, piąta i szósta. Po wstawieniu wartości z symulacji dochodzi się do dwóch równań:

Rezultaty walidacji:

  • Odrzucone zostają symulacje siatki z inflacją: pierwsza (699 MPa), piąta (676 MPa) i szósta (675 MPa).
  • Odrzucone zostają symulacje siatki tetragonalnej: czwarta (539 MPa), piąta (507MPa) i szósta (482 MPa).
  • Znaleziona prosta dla trzech najdokładniejszych wyników siatki tetragonalnej ma parametr podobieństwa R2 = 0,9578.
  • Znaleziona prosta dla trzech najlepszych wyników siatki z inflacją ma parametr podobieństwa R2 = 0,9997.
  • Wartość dokładna dla siatki tetragonalnej wynosi 645 MPa.
  • Wartość dokładna dla siatki inflacyjnej wynosi 706 MPa.

Wnioski z walidacji:

  • Oba typy siatki są porównywalne z punktu widzenia dokładności obliczeń
  • Do wykonania zasadniczej części pracy użyta zostanie siatka tetragonalna, ponieważ jest ona wygodniejsza w użyciu niż siatka z inflacją

Na rysunku 17 pokazano wyniki walidacji dwóch typów siatek. Znaczniki w kolorze czerwonym oznaczają wartości odrzucone. Linia zielona łączy wartości naprężeń z siatką inflacyjną, natomiast linia żółta wartości naprężeń z siatka tetragonalną.

Sprawdź te powiązane posty